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21/04/22 01:37
곱하기가 생략됐으니깐 곱하기가 있다고 생각하고 앞에서부터 차례로 계산한거고
분모가 되려면 곱하기가 아니고 괄호 혹은 나누기 곱하기보다 먼저 계산하는 무언가가 있어야 하는데 그게 보이지 않아서 16일거 같아요.
21/04/22 00:27
8 / [2 X ( 2 + 2 )] = 1
(8 / 2) X ( 2 + 2 ) = 16 적고보니 진짜 1, 16 뭐가 정답인거지 ???
21/04/22 00:30
구글에 검색해보니 현재 기준으론 16이 정답이나
100년전에는 1이 정답일거라고 돼있네요 ÷의 사용법이 달라졌다나? 긴 페이지가 있는데 영어가 딸려서 링크만 남겨봅니다 https://mindyourdecisions.com/blog/2019/07/31/what-is-8-%C3%B7-22-2-the-correct-answer-explained/
21/04/22 00:37
실례지만 이건 8 / 2( 2 + 2) 가 아니라
8 ÷ 2( 2 + 2) 에 대한 결과네요. ÷ 기호와 / 기호가 엄밀히 말하면 다르지 않나요. ÷는 기호를 기준으로 오른쪽에 쓰여진 '하나의 수(또는 문자)' 까지만, /는 기호를 기준으로 오른쪽에 쓰여진 '하나의 항' 까지만.
21/04/22 00:57
저는 아무리 찾아봐도 ÷ (obelus)와 / (slash or solidus) 의 차이점을 찾아보기가 힘드네요
ISO 80000-2 에 의해 ÷ 대신 / 를 쓰는것을 권장하고 있다는 이야기 까지밖에는 못찾겠네요 https://en.wikipedia.org/wiki/Division_sign 혹시 말씀하신 부분은 어디서 찾아볼 수 있을까요?
21/04/22 01:46
제가 잘못 알고있었네요.
아래 이니그마 님께서 올려주신 링크 https://youtu.be/3doWeqpD5gk 이걸 보니 잘못 알고있었다는 생각이 드네요. 딱 정해진게 아니였네요.
21/04/22 00:34
나누기를 를 곱의 형태로만 바꾸고 나면 순서 상관없이 같은 답이 나와서 2)로 생각합니다.
8 / 2( 2 + 2) = 8 / 2 x (2+2) = 8 x 0.5 x (2+2) = 16
21/04/22 00:35
문자와 수식이 붙어있는 것은 괄호가 생략된 것이지만, 수식과 수식 사이에서 곱하기가 생략된 것은 괄호가 없는 거라고 생각합니다.
21/04/22 00:46
이거 전에 엄청 싸웠던 문제군요 ...
수학적 기호가 엄밀하게 정의되어 있지 않아서 일단 둘다 가능합니다만. 현재 우리나라 수학 교육체계 안에서는 곱셈기호가 생략된 곱셈은 괄호가 있는, 우선순위가 앞서는 곱셈이라 취급됩니다. 따라서 답이 1이라고 봐도 무방합니다. 결론적으로 둘다 답이라고 봐도 수학적으로 문제는 없지만 현재 진행되고 있는 교육과정으로 봐서는 좀더 시간이 흐른 후에는 1으로 답이 고착될 듯 합니다.
21/04/22 00:48
(수정됨) 저 괄호 우선을 인정 안하면 많은 수학공식이 매우 복잡해질거 같아서.. 전 1번.
검색하다보니 매우 좋은 예시가 있네요. 2πr = 원의 둘레 2 / 2πr 은? 1) 1/πr 2) πr 전 아무리 봐도 당연히 1번을 의도하는거 같습니다.
21/04/22 00:58
https://www.youtube.com/watch?v=huYC6MhLUS0&t=9s
고넬대 응용수학과 스토로가츠 교수는 답을 16이라고 합니다.
21/04/22 01:04
(수정됨) 이 문제가 논란이 되는건, 1이든 2든 모호하지 않다는 점이겠죠.
8 / 2( 2 + 2) 를 1로 보는 방식으로 수학을 공부해왔어도 아무런 모호함이 없어요. 그냥 괄호곱하기 연산자 우선순위가 높다는걸 인정하기만 하면 되니까요. 그리고 1이든 2든 상관없다면 저는 개인적으론 표기가 간단한쪽이 좋다고 생각합니다. 2의 방식으로 8 / 2( 2 + 2) 를 1로 표현하고 싶으면 8 / (2( 2 + 2)) 이렇게 적어야 되는데... 벌써 가독성이 안좋으니까요.
21/04/22 01:23
저는 그냥 대수를 쓸 때는 곱하기를 생략하고 숫자를 직접 쓸 때는 곱하기를 생략할 수 없다는 규칙으로 확정하면 간단히 해결된다고 봅니다.
21/04/22 01:29
(수정됨) 2(2+2)
a(2+2) 2(a+2) 2(2+a) 뭐는 되고 뭐는 안되는 규칙을 더 추가하자는 말씀이세요? 그럼 저중에 어떤게 되는거에요? 2(2+2 / 2(2+2 / 2(a+2))) 이건 되는거에요?
21/04/22 01:35
그러니까 그냥 1로 해도 모호함이 없다니까요...
규칙을 추가하려면 이쪽이 훨씬 쉽죠. 괄호가 붙은 생략된 곱셉은 우선순위가 더 높다.
21/04/22 01:01
그래서 계산기 종류에 따라 1로도 나오고 16으로도 나오는거죠.
중위표기법의 모호성이 근본 문제라는 관점이 정확하다고 봅니다.
21/04/22 01:08
아뇨 프로그래밍 언어에서는 연산기호의 생략을 거부한다는 뜻입니다.
모호하게 표현하지 말고 정확하게 표현하라는 겁니다. 괄호도 최대한 활용해서 모호성을 없애라는 거죠. 중위표기법의 모호성 때문에 프로그래밍 언어에서는 연산기호를 생략하지 못하게 하는 겁니다.
21/04/22 01:18
(수정됨) 프로그래밍 언어의 문법 = 오토마타 = 수학은 어디까지나 정의하기 나름입니다.
실제 이 수식을 받아들이는 프로그래밍 언어를 만드는 데에 문제될 것은 아무것도 없습니다. 여기서 모호성이라곤 곱셈기호가 생략된 항의 우선순위는 어떻게 되는가라는 질문에 대한 룰만 있으면 해결 되는 것입니다. 진짜 모호성은 a, b, ab가 있을 때 ab를 구분할 수 없다는 것에 있는 것이죠. 괄호는 숫자, 문자가 아닌 괄호 그 자체로 처리하는게 일반적이기에, 이 문제 때문에 연산기호를 생략하지 못하게 하는게 아닙니다.
21/04/22 01:06
결국 중위표기법도 약속을 거쳐 보완되고 있긴 합니다.
시간지나면 자연스레 곱셈기호의 생략에 대한 우선순위는 현재 어린학생들이 배우는대로 정의되어 1이 자연스런 답이 될겁니다.
21/04/22 01:09
코넬대 수학과 교수 왈, 16 ( https://www.youtube.com/watch?v=huYC6MhLUS0&t=9s )
우리나라 수학 강사 왈, 1 ( https://youtu.be/3doWeqpD5gk )
21/04/22 01:12
현재의 수학표기체계가 보완되고 있음만 알아주시면 되겠네요.
현재의 권위에 의해서 미래의 답도 결정되진 않으니까요. 결국 중위표기법이 불완전해서 이런 논란이 일어나는거고 현재 진행되는 교육체계는 이런 모호성을.한쪽 방향으로 정의내리고 진행되고 있습니다.
21/04/22 01:24
https://cdn.pgr21.com./humor/420210#6355164
이 분의 댓글을 보니 100년 전에는 1, 현재의 기준으로는 16이라고...
21/04/22 01:35
현재 중1-1에서 엄밀하게 정의내리고 가고있습니다. (세계 공통입니다)
모든게 표현법의 모호성에서 비롯된 문제이다보니 지금의 세대에서 논의 되는건 전부 정답없는 혼란일 밖에요. 후학들은 이걸 왜 고민했나 할겁니다.
21/04/22 01:19
이니그마님이 올려주신 동영상 내용대로 프로그램밍에 쓴다면
8/(2*(2+2)) 라고 써야 될듯 싶네요. 내용자체가 편의를 위해 가로를 생략하고 있는부분에 대해서 이야기 하고 있어서요.
21/04/22 01:54
(수정됨) 이미 개발자의 의도안에 1이냐 16이냐 정해져 있을거라서 내가 건들고 있는 언어가 뭘 출력해준들 의미가 없죠 자기 원하는 의도대로 정할텐데요.
프로그래밍 언어 이야기 자꾸 하시는게 공감이 안되는게 프로그래밍 언어가 괄호곱셈 생략 하는 그런 문법을 안 만들어 둔건, 뭐 예를 들면 2(2+2) 이게 2라는 이름의 함수인건지 괄호곱셈 생략이라는건지 구별하는게 짜치니까 라던가.. 아니면 double라는 함수하나만들면 해결되는 문제라서 굳이 필요없다던가.. 이런쪽 이유가 더 크겠죠. 현실 수학과는 다르죠.
21/04/22 00:54
48 ÷ 2(3+9) = ?
이게 원래 문제였던거 같네요. 수갤에서도 박터지게 싸웠던 부분인데, 수학적으로는 곱셈 나눗셈엔 우열이 없어 좌항부터 순차적으로 가는게 맞다고 합니다. 룰이 그렇다고 하죠. 사회 일반적으로는 우리는 암묵적으로 우항 부분을 하나로 묶어서 생각하고 있는 경향이 존재하고, 실제로 정석에서도 그렇게 가르쳤다는 당시 키배질이 남아있습니다. 각종 교과서 등에서는 표기를 정해놓고 가는 경우가 종종 발견되기도 해서, 결국 쓴 사람의 의도가 가장 중요하다고 봅니다.
21/04/22 01:00
이젠 공인 교육과정에서
a ÷ b x c 와 a ÷ bc 의 결과가 유의미하게 달라짐을 정의하고 있어요. 8 / 2( 2 + 2) = 1 이고 8 / 2x(2 + 2) = 16 이라 인정해도 무리없습니다. 시간이 흐른후에는 고착화 될겁니다.
21/04/22 01:04
실제로 유명한 계산기 사이트인 wolfram alpha에서는
48 / 2(3+9) = 288 48 ÷ 2(3+9) = 288 로 뱉습니다. 안타깝게도 저는 2파 입니다만
21/04/22 01:11
라고 말씀하시기엔... 아래 사이트에 이 수식을 붙여 넣어보세요. ^^;
8/2(2+2) https://www.wolframalpha.com/
21/04/22 21:21
수학을 전문으로 하는 사람들조차 16과 1로 나뉘고 있으니 계산기 알고리즘을 짤 때 누구에게 자문을 구했느냐에 따라 다른 결과값이 나오는 것이라고 생각하고 있습니다.
그런데 저는 저 수식을 처음 보는 순간 그냥 1이라고 생각했는데 수학과 교수는 16이라고 해서 당황했죠. 그리고 아주 유명한 계산기 사이트에서도 16이라고 나옵니다. 게다가 구글신의 검색 결과에 따르면 현대에는 16, 100년 전에는 1이라고 하고... 그러니 현재는 16이 맞다가 정답인 것 같은데 대수를 쓰는 수학으로 보면 1이 더 직관적이라서 전세계 교과 과정에서 명확하게 룰을 정해줬으면 하는 상황이라고 생각하고 있습니다.
21/04/22 01:14
숫자와 문자나 문자와 문자의 경우는
MoJ를 곱셈이나 나눗셈보다 우선시하려는 경향성이 교육과정 등에서 있는 반면 계산기 등의 표기법은 앞에서부터 연산하는걸 더 선호해서 심지어 정반대 경향성도 생기고 있습니다.
21/04/22 01:17
이에 관해서 약간 웃긴 얘기가 한국교육평가원에서도 한국 교육과정에선 288이 맞다라고 얘기를 했다가 다른 교과서? 교재의 반례를 보고 삭튀?를 한 경우도 있다고 알고 있습니다.
21/04/22 01:22
https://namu.wiki/w/48%C3%B72(9+3)
[2를 지지하는 사람들이 언급하는 "1/2x = 0.5x?" 에 대해서는, 문자일때는 2를 계수로 가진 x가 분모로 취급되지만 이번 케이스와 같은 상수에서는 계산 우선권이 없다고 주장한다. 단 이렇게 주장할 경우, 상수를 문자로 치환하거나 그 반대의 경우 계산식의 답이 달라진다는 결과를 낳는 치명적인 문제가 있다. 그 때문에 상수만 존재하는 식에서 곱셈기호를 생략해 병치형태로 표기할 수 없다는, 즉 수식 자체가 잘못되었다는 주장이 힘을 얻는다] 갠적으론 이런것만 봐도 둘중에 어느것이 모호하냐고 묻는다면 2번은 모호할 여지라도 있는 반면... 1번으로 보고 듣고 공부해도 모호함이 없는데요.
21/04/22 01:37
그리고 가끔 이 얘기 관해서 나눗셈기호 ÷ / ㅡ 도 조금 재밌는게
1÷2÷4와 1/2/4가 둘 다 1/8이냐 그럼 2/2/2/2와 번분수 2 ㅡ 2 ㅡㅡ 2 ㅡ 2 는 다르니까 / ㅡ는 전혀 다른기호냐 1/2a가 0.5a인지 0.5/a인지 계산기도 헷갈리는거보면 ㅡ가 역시 짱이다. 1/2/4같은건 헷갈리니까 쓰지말자. 같은 얘기도 가끔 소소하게 언급되는걸로
21/04/22 01:46
컴퓨터에서의 표기와 실제 손글씨의 표기 차이라고 봐요.
실제로 보통 필기할때도 번분수를 쓸때는 가운데의 선을 조금 더 길게 쓰거나 세로로 쓰니깐 별 문제가 없는데 컴퓨터 혹은 자판으로는 그게 힘들거나 인식을 못하니깐 2/2/2/2 이런식으로 안쓰고 (2/2)/(2/2) 이렇게 쓰는거라고 봐요.
21/04/22 01:52
저 번분수는 ㅡㅡ를 씀으로써 다른 ㅡ와는 연산우선순위가 다르다고 의도된 서술이죠. (2/2)/(2/2)가 되버리니 2/2/2/2와는 당연히 다를 수 밖에요. 즉 언급된 것처럼 실제로 ㅡㅡ와 /는 다르게 쓰인 겁니다.
21/04/22 01:58
개인적으로 답은 1이거나 문제가 잘못된거라 생각하고,답이 절대 16이면 안된다고 생각합니다. 만약 답이 16이면 수학적 정의를 다시 재정립해야 한다고 생각..
21/04/22 02:18
유게라서 일부러 진지해지지 않으려고 하고 있는데... 굳이 진지해지자면 이 게시글의 답은 1이라는 게 제 생각입니다.
보자마자 그냥 1이라는 답이 떠올랐거든요. 그런데 이게 16이라고 코넬대 수학과 교수가 이야기하길래 이런 표정( @.@; )을 지으면서 '뭐라고????' 했던 겁니다. 또 웃기는 게... 계산기에 따라서 1이라고도 하고 16이라고도 하니 헉!! 했던 거고요. 그래서 유게에 올렸는데 이런 저런 정보들이 나오는데 우리나라의 강사는 또 1이라고 하고, 유명 계산기 사이트에서는 16이라고 하고... 중위표기법의 문제라는 걸 알겠는데 수학도 참 엉성하고 그동안 이런 문제를 명확하게 하지 않은 논리의 끝판왕인 수학의 꼴도 우습죠. 그러니 이런 글은 유게가 딱이죠. 흐흐흐
21/04/22 17:32
(수정됨) 아뇨 저건 명제가 아니라서 전혀 다릅니다...
그냥 표기법의 헛점같은거라서...전위표기나 후위표기법하면 아무런 문제가 없는데...중위표기법의 특성이 원래라면 괄호를 엄청 써서 계산순서를 다 구별해줘야하는데 가독성이 개판되니까 생략규칙들을 지금도 만들어가면서 쓰는거라서...
21/04/22 02:18
16이 답이라면 4도 답이 됩니다.
곱셈은 교환 법칙이 성립되니 8 / 2(2+2) = 8 / (2+2)2 = 8 / (4) * 2 = 4 가 되는것도 말이 되는거죠.
21/04/22 09:12
1이 될려면 2a라고 표기하는 것과 a=2라서 22라고 표기하는 게 같은 결과가 나와야죠.
변수에만 적용되는 규칙을 상수에 적용하려고 하니까 저 사단이 나는 거죠.
21/04/22 11:58
(수정됨) 뭐 사실 큰 문제가 없다면 굳이 변수와 상수에서 규칙을 다르게 하는것도 쓸모가 없는 일이라 적당한 합의가 있으면 되죠....
ab도 수이고 2(2+2)도 수인데 굳이 분리해서 따로 규칙을 나눠야할 이유가 없거든요... 괄호생략규칙에서 저걸 생략하지 말고 반드시 괄호쳐서 구분해야한다던지 하거나요...
21/04/22 11:17
이런 것은 원래 다수결로 정하는 것이 법도입니다. 0.9999..... 가 왜 1인지 아십니까? 다수결로 그렇게 정했기 때문입니다.
규칙과 정의는 원래 당위보단 필요에 의해 만들어지는 것이죠.
21/04/22 12:47
0.9999.... 라는 표현의 정의는 실수 체계와는 아무런 상관이 없습니다. 사실 문제는 정확한 정의 없이 0.9999...라는 표현을 쓰고 있고, 그래서 가끔 논쟁이 벌어지고 있죠. 그리고 많은 사람들이 0.9999...의 표현의 정의를 암묵적으로 극한의 정의로 받아들여서 씁니다. 그래서 다수결이죠. 하지만 0.9999.... 표현은 얼마든지 다르게 정의 할 수 있습니다. 예를 들어 유효숫자의 정의를 가져와서 한 숫자가 아니라 구간을 의미하게 한다든가, 그러면 당연히 1이 아니죠.
뭐든 어떤 수학적 표현의 엄밀한 정의는 주 사용자 (대부분 수학자겠죠)들의 대세에 따라서 결정됩니다. 이 대세는 선점효과나 편리함 등에 의해서 결정되고 한 번 대세가 되면 보통 안 바뀌고 쭉 갑니다. 이 글의 식은 사실 많이 쓰는 형식이 아니기 때문에 딱히 대세랄 것이 없어서 사람들이 선택을 못 하는 겁니다.
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