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23/09/27 14:55
그래서 25나 49라면 A가 답을 알 수는 있지요. 약수의 개수로 홀짝 판별이 되는 수들 중 자릿수 합이 유니크한 수들이라서요.
그렇지만 B가 답을 알 수는 없습니다.
23/09/27 15:16
지금 다시 생각해보니까 49였으면 애초에 A가 49와 67 중 구별을 할 수가 없어서 마지막 까지 못 가고 세 번째 단계 (A가 정답을 앎) 에서 막히네요.
25도 마찬가지로 61이라는 녀석이 있어서 A가 정답을 알 수가 없고요.
23/09/27 14:42
아주 똑똑한 두 학생 A와 B를 부른 뒤 >>> 이건 무슨 의미인가요?
A에게는 각 자릿수의 합을, B에게는 약수의 개수를 >>> A 와 B 는 서로 알고 있는 사실을 공유 할 수 없나요?
23/09/27 14:45
두 학생 모두 매우 논리적이고 완벽한 수학적 사고를 한다는 가정이지요. 그러니까 찍기를 하거나 계산을 틀리거나 하지 않을 것이라는.. 논리 퍼즐 같은 데 자주 나오는 가정입니다.
A와 B는 각자 어떤 정보를 들었는지는 알고있지만 (그러니까 A는 자릿수의 합을, B는 약수의 개수를 들었다는 사실을 서로 알고있음) 각자 들은 값이 뭔지는 공유할 수 없습니다.
23/09/27 14:45
B의 입장에서 약수의 개수만으로 짝수인지 홀수인지 알수 있는건 소수 밖에 없다는 거고 (약수의 개수가 2개이고 두자리수 이므로)
A의 입장에서 그 말에서 소수임을 알고 두자리의 합이 나오는 숫자의 조합으로 소수가 하나밖에 안나오는 두자리수의 합이므로... 다시 B의 입장에서 그걸로 알수 있다는 A의 말에 합이 되는 숫자 조합에서 소수가 하나밖에 없는 두자리의 합인 숫자이므로.. 뭐 이런 논리의 흐름인가요?
23/09/27 14:46
대충 그런 방법인데 약수의 개수로 홀짝성 판별이 되는 게 소수밖에 없지 않다는 게 포인트입니다 크크
위에 다른 분들이 25나 49를 제시하신 것처럼 완전제곱수의 경우도 약수의 개수를 통해 홀짝 판별이 가능하고 그 외에도 이런 수들이 더 있습니다.
23/09/27 15:03
이건 A의 첫번째 대답에서 11은 아니지 않나요? 11이면 A에게 제공된 수는 2일거고 그럼 당연히 11임을 알았을텐데 A는 모른다고 했으니까요.
23/09/27 14:54
아닙니다. 자릿수 합이 8인 수들 중 17,53,71도 약수의 개수를 통해 홀짝 판별이 가능한 수들이라 A가 답을 알 수 없습니다.
그리고 아직까지 답이 나오지 않았는데, 다 답글을 달아드리지 않는 이유는 제가 거쳐갔던 오답들에만 답글을 달아드리고 있어서 그렇습니다 크크..
23/09/27 14:58
정확히 말하면 약수의 개수를 통해 홀짝 판별이 가능한 수들 중 자릿수의 합이 유니크한 수들이 있고 그런 수들만 다시 모았을 때 그 중 약수의 개수가 유니크한 수가 딱 하나 있습니다
23/09/27 14:57
공약수의 갯수가 같은 수가 n개가 있는데(n>2)
그 수가 모두 홀수 또는 짝수인데다가 n-1개는 자릿수의 합이 같지만 딱 하나만 다른거 같은데요 일단 제곱수랑 솟수는 아닌거 같구요 찾는 방법이 있을거 같은데 모르면 다 써봐야겠네요
23/09/27 15:14
소수 같네요
89 아닌가요? 두자리 넘는 소수는 모두 홀수니까 약수가2개인건 모두 홀수 소수 중에 두 수의 합이 안겹치는건 17의 89뿐인거 같습니다
23/09/27 15:00
힌트를 하나 드리자면 두 자리 자연수라는 조건 때문에 약수의 개수가 7개 이상이라면 홀짝 판별이 가능합니다.
답은 10분 정도 뒤에 올려볼게요.
23/09/27 15:03
이 퍼즐을 해결하기 위해서는 주어진 정보와 논리를 이용하여 문제를 접근해야 합니다.
1. 먼저, 두 자리 자연수는 10에서 99까지입니다. 2. A는 각 자릿수의 합을 알고, B는 약수의 개수를 압니다. 3. A가 선생님이 고른 수를 모른다는 것은, 그 자릿수의 합을 가진 숫자가 둘 이상 있다는 것을 의미합니다. 4. B는 숫자가 짝수인지 홀수인지를 알 수 있다는 것은, 약수의 개수를 통해 알 수 있다는 것을 의미합니다. (2의 약수는 1과 2이므로 짝수에만 2개의 약수가 있습니다. 따라서 약수가 홀수 개인 숫자는 제곱수입니다.) 5. A가 숫자를 알게 되었다는 것은, 그 숫자는 해당 자릿수 합을 가진 유일한 제곱수라는 것을 의미합니다. 6. B도 숫자를 알게 되었다는 것은, 그 숫자는 해당 약수의 개수를 가진 유일한 숫자라는 것을 의미합니다. 이제 두 자리의 제곱수를 나열해보겠습니다. 16, 25, 36, 49, 64, 81 이 중에서, 각 자릿수의 합이 유일한 제곱수를 찾아봅니다. 16의 합 = 7 25의 합 = 7 36의 합 = 9 49의 합 = 13 64의 합 = 10 81의 합 = 9 여기서 36과 81의 합이 9로 같습니다. 그러므로 36과 81을 제외한 다른 숫자들은 A가 답을 알 수 있게 됩니다. 그 중에서 49는 유일하게 합이 13인 숫자입니다. 따라서 선생님이 고른 숫자는 49였습니다. GPT가 풀어줬습니다
23/09/27 15:09
만약 49라면 A가 들은 정보는 자릿수의 합이 13, B가 들은 정보는 약수의 개수가 3이라는 것인데 약수의 개수가 3인 25 또한 그 그룹 안에서 자릿수의 합이 유니크한 수입니다. 그래서 B가 마지막에 정답이 25인지 49인지 알 수가 없습니다.
23/09/27 15:06
67은 아마 49라는 선택지가 하나 더 있어서 안될 것 같고 89가 맞지 않나 싶은데
피우피우님 마지막 댓글에 따르면 약수 갯수가 7개 이상부턴 홀짝 추론이 가능하고 7개는 근데 아마 유일할거고 (64로) 8개는 다 짝수이긴 할겁니다
23/09/27 15:06
다시 생각해보니까 11,59,67,89 이 넷이 한 그룹이네요.
이 넷 중 하나였다면 B가 마지막에 이 넷 중에 뭐가 답인지 알 수가 없습니다.
23/09/27 15:07
(수정됨) 약수의 개수가 3개였다면 제곱수 중 25, 49 중의 하나이기 때문에 B가 짝수 인지 홀수 인지 알 수 있습니다. 그런데 A는 두 수 중에 하나라는 것을 알 수 있지만 A의 대답을 들은 B는 두 수 중의 어느 수 인지 알 수 없기에 둘 다 제외입니다.
약수의 개수가 4개라면 a x b, 혹은 a^3인데 너무 해당되는 수가 많아서 제외 약수의 개수가 5개라면 16과 81 뿐입니다. 마찬가지로 B가 짝수인지 홀수 인지 알 수 없습니다. 약수의 개수가 6개라면 32, 45, 63, 75, 99인데 이러면 B가 짝수인지 홀수인지 알 수 없습니다. 두 자리수이고 B가 홀수인지 짝수인지 알 수 있다는 조건 때문에 두 자리 홀수 중에 가장 약수의 개수가 6개로 가장 많은 45, 63, 75, 99보다 더 많은 약수를 가진 수라고 한다면 B가 그 수가 짝수라는 것을 알 수 있죠. 약수의 개수가 6개를 초과하는 두 자리 수는 7개인 64, 8개인 30, 42, 78, 70, 66, 9개인 36 그리고 10개인 48과 80인데 7개인 64라면 혹은 9개인 36이라면 B가 그 수를 바로 알 수 있기에 제외하겠습니다.
23/09/27 15:18
약수의 개수로 B가 홀, 짝을 알 수 있는 경우는 약수의 개수가 2개, 3개, 8개, 10개, 12개인 경우 뿐임.
B가 약수의 개수로 홀, 짝을 알 수 있다는 사실을 A가 알았을 때, 자리수의 합을 아는 A가 정확한 수가 무엇인지 알기 위해서는 약수의 개수가 8개인 경우 뿐임. 따라서 이를 모두 충족시키는 수는 30임.
23/09/27 15:16
81 넌지시 건내봅니다
1. 홀수 + 약수의 개수가 홀수 - 소수는 약수가 3개라서 B가 못찾음 2. 두자리 완전제곱수중에 홀수이면서 약수가 3개가 아닌 수는 81
23/09/27 15:19
저도 약수 8개인 수가 모두 짝수라 여기로 보고 있었는데,
약수가 8개인 수는 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88 여기의 각각 자리수를 더한 값과 동일한 수에서 소수나 제곱수가 나와서 A가 추론할 수 없는 수를 찾아보는데 이러면 30, 66, 78 중 하나라는 거 까지는 추렸는데 답이 나왔군요.. 66, 78을 어떻게 배제시킬 수 있을까요
23/09/27 15:24
약수가 2개, 3개, 8개, 10개, 12개인 경우에는 B가 홀/짝을 구분할 수 있습니다.
그러한 수들 중 자리수의 합을 아는 A가 바로 숫자를 알기 위해서는 자리수의 합이 중복이 되지 않아야 하는데 그런 숫자는 11, 30, 59, 89 밖에 없습니다. 그 중에서 11, 59, 89는 모두 약수의 개수가 2개라 A는 정확한 수를 알더라도 B는 정확한 숫자를 알 수 없습니다. 따라서 30입니다.
23/09/27 15:29
66은 48과 겹치고 (48은 약수 갯수가 10개인데 약수 갯수 10개도 짝홀 구분 가능합니다) 그래서 A가 답을 모르고
78은 96과 겹치고 (96은 약수 갯수가 12개인데 약수 갯수 12개도 짝홀 구분 가능) 그래서 A가 답을 모릅니다 그래서 A가 답을 안다는건 30이라는 얘기입니다
23/09/27 15:30
48과 84 또한 약수의 갯수를 통해 짝수라는 걸 알 수 있는 수이고 (각각 약수가 10개, 12개) 66처럼 자릿수의 합이 12입니다.
또 96도 홀짝 판별이 가능한 수인데 (약수가 12개) 자릿수의 합이 78과 같은 15죠. 그래서 66과 78은 배제가 가능합니다.
23/09/27 15:38
풀이 방법이 오직 노가다밖에 없다는 점도 그렇지만, 진짜 변태같은 점은 B가 "홀수인지 짝수인지 알겠어"라고 해서 풀린 거지 "짝수라는 건 알겠어"라고 했으면 문제가 안 풀린다는 점입니다 크크
만약 B가 이렇게 말했다면 마지막에 B가 답을 알 수가 없거든요. 30도 되고 40도 되고 56도 되고 70도 되고 88도 되고...
23/09/27 15:20
(수정됨) 나무위키에서 약수를 검색하니 1부터 100까지 약수의 개수가 나오네요.
(1) 그 중에서 약수의 갯수를 엑셀 필터로 묶어보니, 약수의 갯수가 2개인 경우(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97)와 약수의 갯수가 3개인 경우(25, 49), 7개인 경우(64), 8개인 경우(24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88), 9개인 경우(36), 10개인 경우(48, 80), 12개인 경우(60, 72, 84, 90, 96)에는 약수의 갯수 자체로 홀짝이 분명해지네요. 다만 약수가 7개인 경우와 9개인 경우 B가 숫자를 곧바로 알 수 있으므로 해당 사항이 없어 보입니다. 따라서 B가 들은 약수의 숫자는 2개, 3개, 8개, 10개, 12개 중 하나인 것 같습니다. (2) 약수가 2개, 3개, 8개, 10개, 12개인 숫자들 중 자릿수의 합이 다른 숫자와 중복되지 않는 숫자를 찾아야 합니다. 자릿수 합을 일일이 대조해보면 11(자리수의 합 2), 30(자리수의 합 3), 59(자리수의 합 14), 89(자리수의 합 17) 는 다른 숫자와 중복되지 않습니다. 따라서 A가 선생님으로부터 들은 숫자의 합이 2, 3, 14, 17이라면 A는 자릿수의 합과 B의 응답을 바탕으로 정확한 숫자를 알 수 있습니다. 따라서 선생님이 말해준 숫자는 11, 30, 59, 89 중 하나일 것입니다. (3) B 또한 A가 정확한 숫자를 알았다는 점에서 선생님이 불러준 숫자가 11, 30, 59, 89 중 하나라는 점을 알 수 있습니다. 이들의 약수 숫자는 2개, 8개, 2개, 2개입니다. 그런데 B 또한 A가 알았다는 사실을 듣고 정확한 숫자를 알았으므로, 약수의 갯수는 8개임을 확인할 수 있습니다. 만약 B가 들은 약수의 숫자가 2개였다면 정확한 특정이 불가능합니다. (4) 결국 숫자는 30가 맞는 것 같네요. 엑셀의 힘을 빌렸는데도 틀리면 댓삭하겠습니다 크크
23/09/27 15:23
(수정됨) 정답은 30입니다.
우선 B가 약수의 개수만으로 홀짝을 판별할 수 있어야 하는데, 이게 가능하려면 약수의 개수가 2 (소수), 3 (완전제곱수 중 25, 49), 7(64로 유일), 8 이상 (두 자리 홀수 중 가장 약수의 개수가 많은 것은 6개라서 약수의 개수가 7 이상이면 무조건 짝수) 이어야 합니다. 그리고 B가 약수의 개수를 통해 홀짝 판별을 가능하다는 정보를 들은 A가 바로 정답을 맞히려면 이런 수들 중 자릿수 합이 유일해야 합니다. (예를 들어 49와 67은 둘 다 홀짝 판별이 가능한 수지만 자릿수 합이 13으로 같기 때문에 A가 정답을 맞힐 수 없음) 마지막으로 A가 정답을 맞히는 것을 본 B가 정답을 맞히려면 이렇게 홀짝 판별 가능한 수들 중 자릿수 합이 유일한 수들의 집합 중에서 (즉 A가 정답을 알 수 있는 수입니다. 11,30,59,89 밖에 없습니다.) 약수의 개수가 유일한 수여야 합니다. 이 중 11, 59, 89는 모두 소수라 약수의 개수가 2로 전부 동일해서 선생님이 고른 수가 이 셋 중 하나였다면 B가 정답을 알 수 없고, 따라서 B가 정답을 맞힐 수 있는 수는 30밖에 없습니다. 저도 정답이 30이라는 것만 기억하고 다시 풀어보느라 중간중간 오답인 이유를 잘못 설명한 답글들이 좀 있습니다ㅠ
23/09/27 15:31
그리고 개인적으로 이 문제에서 가장 백미인 부분은..
만약 B가 "짝수라는 걸 알겠어" 라고 대답했다면 문제가 안 풀렸을 거라는 점입니다 크크
23/09/27 15:30
홀짝을 바로 알수 있다는 것
=> 약수의 갯수가 2, 3, 8, 10, 12개 인 친구들 중 답이 있음 A가 답을 바로 알 수 있다는 것 => 위 친구들 중 합계가 unique 한 항목 => 2, 3, 14, 17(숫자로는 11, 30, 59, 89) B가 답을 바로 알 수 있다는 것 => 약수의 갯수가 다른 친구 => 30
23/09/27 15:33
30
이유 b입장에서 홀수 짝수만 판단가능 약수의 개수가 작으면 홀짝 구별이 안됨 즉 약수의 개수가 짝수만 성급되도록 많아야 됨 30의 약수의 개수는 8개 홀수의 약수가 두자리수로 8개가 안되므로 약수의 개수 8개보고 짝수라 판단가능 A입장에서 알고 있는건 합계가 3인 두자리수 30,21,12 3개가 있음 21은 약수가 4개이므로 약수의 개수만으로 홀짝 구별 불가 12는 약수가 6개이므로 홀짝 구별 불가 따라서 30이 됨 B입장에서 A가 알아버렸다는건 수의 합이 크지 않다는 말 예를들어 합이 6인 경우는 42는 8개인 짝수 24는 8개인 짝수가 있어 확정 불가 두수의 합이 작은 약수 8개짜리 수를 찾아보니 30
23/09/27 16:38
이 문제에서 A의 첫 번째 답변은 의미가 있는 것인가요?? 10, 11, 99 세 수 중에는 답이 없다는 정보인데, 이게 문제를 푸는 데 아무런 기여를 못하는 것으로 보입니다만..? (이런 문제는 뭔가 사족이 끼어 있는 것으로도 좀 찜찜해서...)
23/09/27 19:04
세번째 대화까지 11, 30, 59, 89만 가능성이 있는데,
마지막 대화에서 B가 그래도 난 모르겠어 했으면 답이 11, 59, 89중에 하나였는데(11, 59, 89는 약수의 개수가 2개라서) B가 안다고했기 때문에 30일수밖에 없군요.. 어렵다
23/09/27 20:43
답은 이미 나왔고 풀이과정 남기고 갑니다. 대입을 그나마 덜 한거 같아서요
1. 소수 아님 소수면 B가 홀짝여부를 알 수 있지만 A가 눈치챌 수 있는 경우의 수가 많음(11 59 67 89, 여기서 11 89는 자릿수가 극단적이라 찾기 쉽고, 얘넬 확인해보는 순간 59 67 필요없이 그냥 소수를 다 쳐내야 고생을 덜함) 2. 완전제곱수 아님 약수의 개수로 홀짝을 알 수 있는 완전제곱수는 25 49 64인데 25 49는 마지막에 B가 구별을 못하고 64면 B가 한번에 맞춤 3. 1&2 -> 홀수 절대아님 저걸 제외한 홀수들은 약수개수 측면에서 너무 흔해빠짐 4. 짝수인데 흔해빠지지 않은 약수개수 -> 매우 많은 약수(2를 많이 쓸 수 있으니). 7개부터는 홀수가 닿을 수 없는 영역 5. 7개인 경우는 2에서 다뤘고, 약수가 8개인 수들부터 차례로 비교해보면 답에 도달 8개 : 24, 30, 40, 54, 56, 84, 88 (여기서 30 찾고 끝)
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