[1. 수학은 왜 공부해야 하는가?]

덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈 이른 바 사칙연산만으로도 삶을 살아가는데 전혀 지장받지 않고 살아갈 수 있는데, 왜 미적분과 같은 심화과정을 공부해야 하는지 우리는 한번쯤은 고민해보았을 겁니다. 이 고민에 대해 대부분 짜증으로 흘려보냈겠고, 어떤 이는 진지한 고민의 결과를 얻었을 수도 있을겁니다. 제가 생각하는 ‘수학을 왜 공부해야하는가?’ 라는 질문의 답은 ‘응용(활용)하는 능력’에 있습니다.

 수학능력시험, 수능이라고 부르는 이 시험에서 앞의 두 글자 ‘수학(修學)’이라는 단어가 우리가 알고 있는 수학(Math)은 아닙니다. ‘수학(修學)’은 학문을 배우는 것을 어떻게 활용하고 응용하여 문제를 해결할 수 있는가 라는 것에 초점을 맞춘 단어입니다. 다른 말로, 배운 것을 얼마나 암기했느냐를 넘어, 암기한 지식을 바탕으로 그 지식을 얼마나 활용할 수 있으며 제한된 시간 내에 문제해결을 할 수 있느냐 라는 것을 묻는 것이지요.

 수능 수학문제지를 다들 떠올려봅시다. 첫 페이지 4개의 계산문제가 있습니다. 뒤이어 나오는 26개의 문제는 많은 글들과 그림들을 제시하고 답이 무엇인지를 물어봅니다. 즉, 수능에서 요구하는 바는 이 26개의 문제를 본인이 암기한 지식을 바탕으로 얼마나 잘 활용하여 문제를 해결하는가에 초점을 맞춘다고 볼 수 있는 것입니다.

 단적으로, 1+1은 무엇인가? 라는 질문을 하기보다 ‘내가 사과 1개를 가지고 있는데, 다른 친구가 1개를 더 준다면 내가 가진 사과는 총 몇 개인가?’라는 질문을 함으로써 1+1=2가 되는 지식을 직접적 대입을 통해 문제 해결하기를 요구합니다. 사칙연산만으로 삶을 살아가는데 대부분의 사람은 아무 문제 없지만, 내가 알고 있는 것을 실제로 어떻게 활용할 수 있는가 라는 물음을 던지는 것이 중고등학교 수학의 의의이며, 이 물음에 가장 합리적인 도구로서의 과목이 수학입니다.

[2. 수학은 다른 과목과 무엇이 다른가?]

먼저, 수학이 다른 과목과 가장 큰 차이는 ‘연속성’에 있습니다. 수학은 선수(先修, 미리배움)하지 않았을 경우, 다음 단계의 배움에 굉장한 지장을 초래합니다. 아니, 배움이 불가능 할 수도 있습니다. 일차방정식을 이해하지 못했는데, 이차방정식을 배울 수 없으며, 수열과 극한을 이해하지 못하는데 미적분을 이해한다는 것은 거의 불가능에 가깝습니다.

타 과목을 살펴보면 이런 경향이 덜합니다. 굉장히 기본적인 베이스를 제외하고는 배움에 있어 연속성이 느슨한 것을 볼 수 있죠. 수필을 배우지 않고도, 시를 배울 수 있고 중3 영어교재를 공부한 후, 중2 영어교재를 공부해도 이를 극복할 수 있습니다. 그래서, 국어와 영어와 같은 과목은 매우 유동적인 학습이 가능한 반면, 수학은 굉장히 수동적인 체계적 커리큘럼에 따라 학습을 진행해야 하는 과목입니다.

영역을 더 넓혀, 사회와 과학의 분야에서도 마찬가지입니다. 역사의 경우도 조선시대를 먼저배우고, 삼국시대를 배워도 큰 무리는 없으며, 생물이나 지구과학도 어떤 단원을 먼저 학습할 수 있는가라는 질문에 있어서는 수학의 연속성에 비할만하지 않습니다. 결국, 수학은 ‘연속성’에 따른 체계적 단계에 따라 기존에 학습된 지식의 유기적인 관계들을 통합하며 새로운 개념을 인출하는 연습으로 이루어지는데, 이는 타 과목과의 확실히 구별된 특징입니다.

물론, 위의 내용은 중고등학교 과정에 한하며, 학사 및 석박사과정 개별 분야의 심화과정은 당연히 수학의 ‘연속성’과 같이 그 궤를 같이합니다.

[3. 수학을 어떻게 공부해야 하는가?]

그렇다면, 실제적인 질문인 학생으로서 수학은 어떻게 접근해야 하며, 어떻게 공부해야 하는가의 답이 필요한 것 같습니다. 이 질문에 답을 하기 앞서, 먼저 설명할 것이 있습니다. 바로 내신(학교시험)과 수능(모의고사류)의 차이입니다. 내신과 수능은 분명 상호보완적이지만 굉장히 다르다는 것을 먼저 인지해야 합니다. 내신은 좁은 범위의 단위시험과 계산위주의 암기형 문제가 주를 이루는 반면, 수능 및 모의고사의 문제는 넓은 범위의 통합시험과 응용과 활용위주의 분석형 문제들이 주를 이룹니다. 따라서 중점을 어디에 두느냐에 따라 공부방법은 약간 달라질 수 있습니다. 그러나 이 모든 과정은 상호보완적이라는 전제하에, 결론적으로 수능 및 모의고사 위주의 포괄적 공부방법에 대해서 이야기 해 보겠습니다.

(1) 서랍정리

수학의 문제는 다음의 예와 같습니다. “당신의 집에서 ”스키장갑, 후시딘, 보온병, 전분가루, 드라이버, 보험계약서류, 스타1CD’을 찾아서 가져오십시오. 제한시간은 20분입니다.“ 당신은 위 물건 중 어떤 것은 분명한 위치를 알고 있지만, 주방기구와 같은 낯선 물건을 찾는데에는 애를 먹을지도 모릅니다. 어디에 두었는지 빠르게 기억해서 정확히 뒤져보고 찾은 다음 그것을 꺼내야 하는 것, 이것이 수학문제를 푸는 것과 같습니다.

수학문제의 풀이는 다음의 3단계를 거칩니다. (암기-기억-인출)-(변환-활용)-(문제풀이)입니다. 먼저 이 문제는 내가 외운 공식중에 무엇을 사용해야 하는가를 빠르게 캐치하는 것이 시작입니다. 식이 아닌 글(혹은 그림)으로 제시된 어떤 문제에 필요한 공식은 인수분해인데, 집합단원의 공식을 계속 떠올린다면 당신은 그 문제를 해결할 수 없습니다. 두 번째는 그 문제를 식의 형태로 변환할 수 있어야 합니다. 인수분해를 사용하는 것은 알겠는데, 도대체 변수x를 무엇으로 둘 것인지 인수분해 공식중에서도 무엇을 활용해야 할 것인지 결정해야 합니다. 여기까지 끝나면, 마지막 단계는 그 식을 풀어나가면 끝입니다.

결국, 수학의 문제는 ‘내가 배운 것을 빠르게 기억해내고’, ‘기억해낸 것을 빠르게 대입하고 응용하여’, ‘수학적 방법으로 풀어내는 것’이라고 할 수 있습니다.

(2) 한 권의 문제집

고3 시절, 제 옆 친구는 수학 기본서(정석, 개념원리, EBS교재) 3권을 쌓아두고 저에게 자랑을 했습니다. 그 동안 저는 개념원리 문제집만 3번째 풀고 있는 중이었죠. 과연 누가 효과적인 공부를 하고 있을까요? 일반적으로 같은 IQ를 가졌다면, 수학은 다량의 문제를 푸는 것보다 같은 문제를 여러번 풀어 내 것으로 만드는 것이 더욱 효과적입니다. 이는 다음과 같은 이유 때문입니다.

먼저, 서랍정리를 해야 하는 수학과목의 특성에 기인합니다. 같은 문제를 반복하고 틀린 문제를 다시 한번 푸는 것이 알고 있는 개념을 본인의 것으로 체득화하는데 도움이 됩니다. 여려 유형의 문제를 대비해야하지 않는가 라는 반론이 있을 수 있는데, 최근 시중 수학서적은 상당한 퀄리티를 가지고 있어서, 기본서 한 권으로 거의 대부분 유형의 기본골자를 체험하는데 전혀 무리가 없습니다. 둘째, 장기간의 기억력을 위해서는 어려운 문제에서 쉬운 문제로 풀이하는 것이 효과적입니다. ‘어떻게 공부할 것인가’라는 책에서의 실험결과가 이 부분에 대해 잘 다루고 있는데, 우리가 알고 있는 착각 – 쉬운 것부터 공부한다 –으로부터 벗어나, 장기적 학습에 있어 어려운 문제를 두 번째 풀면서 쉽게 느끼는 경험이 필요합니다.

그렇다면, 다량의 문제집을 푸는 것이 효과적일 수 있다는 개인적 경험에 의한 반론이 분명 있습니다. 이 부분에 대해서도 인정할 수 있는 두 가지 경우가 있습니다. 첫째, 기본기가 확실하여 다량의 문제를 푸는 것이 본인의 학업성취도에 도움을 주는 경우(일반적인 성적상위생) 둘째, 수능 및 모의고사를 앞두고 본인의 실력을 체크해야 하는 경우입니다. 이를 제외하고 일반적인 스타터학생이나 중하위권 학생들은 1개의 문제집을 마스터하는 것이 훨씬 효과적이라고 반복해서 말하고 싶습니다.

(3) 아는 것은 설명할 수 있을 때 쓰는 말

이 전제는 모든 과목에서 동일합니다. 우리가 누군가의 수업을 듣거나 글을 읽을 때, 아! 하는 깨달음을 얻습니다. 그러나 그 깨달음이 자신이 아는 것과 동치되는 단어는 결코 아닙니다. 자신이 ‘안다’는 것은, 그것을 남에게 표현하고 가르칠 수 있을 때 정말로 ‘안다’라고 할 수 있습니다. 아이들을 가르치다보면 그 때에는 다 이해하고 고개를 끄덕이는데, 실제 문제를 접했을 때 멍한 표정을 짓거나 괴로워하는 경우가 많습니다. 결국 몰랐다는 것입니다.

이를 잘 활용하면 더욱 효과적인 공부를 할 수 있게 됩니다. 옆 친구에게 내가 알고 있는 것을 가르쳐주거나, 일대일 과외 등의 방법으로 선생님에게 내가 이해한 것을 다시 설명하면 본인이 생각한 것보다 엄청난 성과를 볼 수 있습니다. 왜냐하면, 설명하고 가르치기 위해서는 본인이 다시 본인의 것으로 체득화하는 과정이 필요하기 때문입니다.

(4) 틀리는 문제 위주의 공부

위 3가지는 수학공부에 있어서 절대적인 개념이라면, 이후부터 설명하는 방법은 보편적인 방법론입니다. 수학문제를 풀다보면 자주 틀리는 문제가 있고, 어려운 문제가 있을 것입니다. 엄마는 여러 자녀 중 장애가 있는 아이에게 마음이 더 쓰이듯, 그런 마음으로 그 문제 와 미비한 단원을 집중적으로 공부해야 합니다.

(5) 답안지는 원래 없다는 마인드

수차례 반복적으로 들었던 말이지만, 반드시 기억하고 명심해야 합니다. 남에게 도움을 구하거나, 답안지 풀이과정의 도움을 구하는 것은 위에 말한 ‘아는 것’을 착각하는 행위입니다. 자신이 풀지 않았기에 자신의 것이 아니라는 것을 인지하지 못하죠. 이보다 더 위험한 사실은, 이 행위가 반복적인 습관이 될 가능성이 너무나도 높다는 것입니다. 유명한 명언이 있지 않습니까? ‘한번도 하지 않은 사람은 있어도 한번만 한 사람은 없다.‘ 답안지 풀이과정을 헤프게 뒤적이는 행위의 결국은 ‘아는 것이라고 착각하는 모르는 나’만 남게 될 것입니다.

(6) 풀이과정은 반드시 일목요연하게

공부를 잘하는 사람은 풀이과정도 완벽합니다. 학생의 수학성취도를 평가할 때 직접적인 테스트 외에도 이를 구별하는 방법이 있는데, 학생이 풀었던 문제집을 살펴보는 것입니다. 문제집의 상태만으로도 그 학생의 등수를 어림짐작 할 수 있습니다. 문제집의 비좁은 공간에 차분히 풀이과정을 적어놓은 학생이 있는가 하면, 넓은 여백의 공간이 있음에도 도대체 어떻게 답이 나왔는지의 경로를 알 수 없는 친구들이 있습니다.

풀이과정이 필요한 이유는 내가 어디서 틀렸는지의 그 지점을 알 수 있기 때문입니다. 내가 문제를 푸는 과정에서 어느 한 지점에서 풀이가 막히거나 오류를 범할 가능성이 많은데, 풀이과정이 난잡하면 그 중요한 지점을 알 수 없습니다. 기억하세요. 풀이과정이 깔끔한 사람이 다 공부를 잘하는 것은 아니지만, 공부를 잘하는 사람은 반드시 풀이과정이 깔끔하다는 것을요.

이상, 퇴근시간이 다가와서.. 줄이겠습니다^^