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22/07/23 13:57
문제가 이상한데요.. 4번 질문만해도 그냥 답은 3아닌가요
A,B,C공이 섞여있고 이걸 원하는 순서대로 뽑는게 아니면 2/9의 확률로 3번만에 뽑아낼 수 있을거 같은데요. 만약 A,B,C순서대로 뽑아내야한다면 1/27확률로 3번만에 뽑아내는것이고.. 3번뽑는행위를 1번시행한다고쳤을때 27번의 시행하면 1번정도는 A,B,C순서대로 뽑혀나오겠죠..
22/07/23 14:02
아 맞습니다. 질문의 의도가 최소한이 아니었네요. 잘 모르니 질문도 개떡같........ㅠㅠ
색의 순서는 상관없고, 서로 다른 색을 최소 한 번씩 뽑게되는 일반적인(?) 평균 시행 횟수 기대값(?) 같은 것을 구하려다가 질문 올린거였습니다.
22/07/23 14:16
3 종류가 최소 한 번은 다 나오는 횟수의 기대값이 궁금하신거죠?
3번째 색깔이 딱 나오는 그 시점의 횟수를 x라고 하면 그 확률은 ((2/3)^(x-1) - 2*(1/3)^(x-1)) 이 됩니다. x-1번의 시행동안 마지막 색깔을 제외한 두 종류 공만 나올 확률이 (2/3)^(x-1)인데, 그 중에 두 가지 예외 케이스 (한 종류만 계속 나오는 경우) 를 빼 주면 저렇게 됩니다. 기대값은 이제 sigma (x * 확률) 이고 x=3부터 무한대까지 잘 더해주면 됩니다. wolframalpha에 넣어보니 5.5가 나오네요. 정답은 5.5번입니다.
22/07/23 14:42
헐....생각보다 더 복잡하게 계산해야 하는군요. 제 산수 지식을 넘어서는 것 같아서...송구합니다. 어쨌거나 질게에 올려보길 잘했네요.
감사합니다! 그리고 답변 해주신 모든 분들께 감사드립니다!
22/07/23 16:12
쉽게 구하면 1+3/2+3/1=5.5입니다. Geometric distribution의 기댓값이 1/p인 것을 이용하면 의외로 간단하게 풀 수 있어요.
22/07/23 18:01
오 이게 이렇게 되는건가보군요
1차: 1번에 무조건 성공 2차: 2/3 확률로 다른 색이 나오니까 시도 횟수 측면에서는 3번 뽑으면 그 중 2번은 1차와 다른 색이 나옴 = 1.5번 뽑아야 1차와 다른 색 나옴 3차: 1/3 확률로 다른 색이 나오니까 시도 횟수 측면에서는 3번 뽑으면 그 중 1번은 1차와 다른 색이 나옴 = 3번 뽑아야 1,2차와 다른 색 나옴 그래서 1+1.5+3 = 5.5
22/07/23 16:45
처음 한번 뽑고 + 처음 색이 아닌 다른 색을 뽑을 기대값 + 첫번째와 두번째가 아닌 색을 뽑을 기대값
1 + 3/2 + 3/1 = 5.5
22/07/24 01:54
오 기대값으로 하면 5.5군요..
아주아주 어렵게 다시 풀어봤습니다 크크 a(n)을 n번까지 시행했음에도 2가지 색만 나올 확률이라고 보면 a(n) = (n-1)번시행까지 1가지색만 나올확률 x n번째에 나머지 2가지색깔중 하나를 뽑을 확률 (즉, 2/3) + a(n-1) x n번째에 이미 뽑힌 두가지 색중 하나를 뽑을 확률 (즉, 2/3) = 1 / 3^(n-2) x (2/3) + a(n-1) x (2/3) a(n)수열의 초기항은 n=2부터 시작하고, a(2) = 2/3이므로 위 점화식을 풀어보면 a(n) = ( 2^n - 2 ) / 3^(n-1) 이 됩니다. b(n)을 n번째 시행에서 비로소 3가지색이 나올 확률이라고 할때 b(n) = a(n-1) x n번째 시행에서 앞의 두색과 다른 하나를 뽑을 확률 (즉, 1/3) = ( 2^(n-1) - 2 ) / 3^(n-1)이 됩니다. 이는 위의 hodduc님의 식 ((2/3)^(x-1) - 2*(1/3)^(x-1))과 같습니다. 이후 hodduc의 계산과 동일하게. 5.5!
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