우선 위 두 그림을 봐주시죠. 어느 쪽이 진정한 랜덤일까요?

얼핏 보면 위 그림이 여기저기 점들이 뭉쳐 있어서 아래 그림이 더 무작위에 가까워 보일 수 있습니다. 그러나 실제로는 위 그림이 정말로 균일한 랜덤으로 찍은 점들이고, 아래 그림은 점들에 서로 반발하는 규칙을 부여한 결과입니다.

또 다른 예를 들어 보죠. 수많은 검은 공과 빨간 공이 섞여 있는 장치에서 버튼을 누르면 임의의 공이 나오는 장치가 있습니다. 이 장치에서 검은 공이나 빨간 공이 나올 확률은 똑같이 50:50(피프티 피프티)입니다. 다섯 번 공을 뽑으면 가능한 경우의 수는 32가지고, 이 32가지의 확률은 모두 동일합니다. 앞으로는 빨간 공은 R, 검은 공은 B로 표시하겠습니다. 빨간 공이 연속 5번 나오면 RRRRR이고, BBRRB는 검은 공 2번, 빨간 공 2번, 검은 공 1번 순으로 나온 경우입니다.

어느 TV 프로그램에서 보지 않고 공의 색을 맞추는 초능력이 있는지 궁금해서 편지로 답을 제출하도록 했습니다. 많은 초능력자들이 이 프로그램에 도전했으나 실제로는 초능력 같은 건 없었던 것 같은데, 그와는 별도로 흥미로운 점이 있었습니다. 위에 예로 든 RRRRR이나 BBRRB나 확률이 1/32로 동일한데, 실제로는 제출된 답안에 RRRRR 같은 건 그보다 더 낮은 제출 횟수를 보였던 것입니다.

랜덤으로 찍은 점들이나, 공의 색깔 맞추기나, 진정한 랜덤은 하나로 뭉치는 것을 기피하지 않는데 사람에게 랜덤을 예측하라고 하면 이런 걸 기피하는 경향이 있습니다. 그래서 사람은 랜덤을 제대로 인식하지 못하는 것 같습니다. 왜 그럴까요?





공 색깔 맞추기로 돌아가 보죠. 저는 공 색깔의 확률이 공평하게 피프티 피프티라고 했습니다. 하지만 과연 그럴까요? 사실은 검은 공이 더 많이 나오는 장치일 수도 있고, 빨간 공이 더 많이 나오는 장치일 수도 있습니다. 간단하게 R:B가 40:60, 50:50, 60:40인 세 가지 상황(검정 편향, 공정, 빨강 편향)이 있다고 가정하겠습니다. 대충 각 상황의 가능성은 5%, 90%, 5%라고 하죠. 각 가설이 옳을 때, RRRRR이 아닌 게 나올 확률은 조건부 확률과 베이즈 정리를 가지고 계산할 수 있는데, 4.95%, 87.2%, 4.61%입니다.

주목해야 할 상황은 RRRRR이 나올 확률인데 0.05%, 2.8%, 0.39%입니다. 그런데 진짜로 RRRRR이 나왔다? 그러면 장치 상태에 대한 확률은 RRRRR이 나왔을 때의 확률로 재계산한 1.5%, 86.5%, 12%로 당연히 빨강 편향의 확률이 많이 올라갑니다.

이렇게 우리가 세상에서 일어나는 사건을 접할 때마다 베이즈 정리를 사용해서 우리의 믿음을 업데이트해야 한다는 것이 베이즈주의 인식론이고, 뇌 속에 있는 인지를 이렇게 업데이트하고 있다는 게 베이즈주의 인지 가설입니다.

이런 베이즈주의는 우리가 진정한 랜덤을 이해하지 못하는 이유를 설명해줄 수 있습니다. 진정한 랜덤은 어딘가에 뭉치는 것을 피하지 않지만, 이렇게 뭉친 결과물은 랜덤보다는 다른 가설들이 참일 가능성을 더 높여줍니다.

물론 RRBBR 같은 것도 어떤 가설이 참일 가능성을 높여주긴 합니다. 장치를 누가 교묘하게 조작해놔서 RRBBR이 더 잘 나오게 만들어놨단 가설이지요. 그러나 베이즈 정리에서 중요한 점은 가설의 업데이트는 사건뿐만이 아니라 우리가 이 가설에 부여하는 사전 확률에도 의존한단 점입니다. 위의 예에서 분명히 RRRRR이 나왔는데도 공정의 가능성이 86.5%로 가장 높은 것은 원래 그 가설에 부여한 확률이 90%나 됐기 때문입니다. 만약 모든 가설에 전부 33%의 확률만 처음에 매겼다면, RRRRR이 나온 이후 빨강 편향의 가능성은 무려 65%까지 증가합니다. 그리고 인간은 인지적 한계 때문인지 그동안 세상을 살아 오면서 얻은 진화적, 경험적 직관인지, 간단한 가설에 가능성을 많이 부여합니다. 그리고 일부 마약은 감각의 역치를 매우 낮춰서 사람을 민감하게 만드는데, 이럴 경우 이런 간단한 가설 선호가 무너지면서 사람을 혼돈에 빠트립니다.

그래서 사람은 이 세상을 해석하는 간단한 가설들에 편향이 없는 상태를 진정한 랜덤이라고 착각하기 쉽습니다. 진정한 랜덤은 오히려 간단한 가설들의 확률을 정말 랜덤으로 증가시켜주니까요. 사람은 무작위에서 패턴을 읽어내는 인지적 편향이 있다고 하는데, 이 편향을 설명할 수 있는 한 가지 방법이 이 베이즈주의인 것 같습니다.



이 글은 조던 앨런버그의 《틀리지 않는 법: 수학적 사고의 힘》의 8장과 10장 내용을 많이 참고했습니다. 그림은 책에도 나오는데, 책에서 인용한 Yuval Peres의 개인 사이트의 https://yuvalperes.com/gaussian-analytic-functions/를 찾아서 인용했습니다.